Nombres relatifs (positifs et négatifs)

Définition

Un nombre relatif peut être positif (au-dessus de 0) ou négatif (en-dessous de 0).

• Le signe « + » est souvent sous-entendu.
• L’opposé d’un nombre a le signe contraire.
• La distance à 0 (valeur absolue) mesure « combien on est loin de 0 », sans tenir compte du signe.

Comparer des relatifs

• Plus on va vers la droite sur la droite graduée, plus c’est grand.
• Parmi les négatifs, celui qui est « le plus proche de 0 » est le plus grand.

Règles de calcul (à maîtriser)

Addition / soustraction

• Addition de même signe : on garde le signe et on additionne les distances à 0.
• Addition de signes différents : on fait la différence des distances à 0 et on garde le signe du nombre le plus « fort » (plus grande valeur absolue).
• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Multiplication / division

• Même signe → résultat positif.
• Signes différents → résultat négatif.
• On multiplie/divise les valeurs absolues, puis on met le signe.

Pièges fréquents

• Confondre « soustraire » et « prendre le signe moins devant ».
• Oublier que « −(…) » change les signes à l’intérieur.
• Mélanger comparaison et valeur absolue.

Checklist

• Ai-je transformé les soustractions en additions d’opposés ?
• Ai-je géré les signes avant de calculer ?
• Ai-je vérifié la cohérence du signe final ?

Fractions

Définition

Une fraction représente un quotient : numérateur / dénominateur.

• Le dénominateur indique en combien de parts on découpe l’unité.
• Le numérateur indique combien de parts on prend.

Fractions équivalentes et simplification

Deux fractions sont équivalentes si on multiplie (ou divise) numérateur et dénominateur par le même nombre non nul. Simplifier une fraction = diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun (idéalement le PGCD).

Comparer des fractions

Méthodes fiables :

• Mettre au même dénominateur,
• ou comparer via un produit en croix (selon la situation),
• ou passer en écriture décimale si c’est possible sans arrondis dangereux.

Opérations

Addition / soustraction

1. Mettre au même dénominateur.
2. Additionner/soustraire les numérateurs.
3. Simplifier le résultat.

Multiplication

• Multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
• Simplifier avant si possible (réductions croisées) pour éviter de gros nombres.

Division

• Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
• Garder les parenthèses quand c’est nécessaire.

À retenir

• Une fraction n’est pas « forcément plus petite que 1 ».
• Toujours simplifier si on peut, et garder une écriture propre.

Puissances

Définition

Une puissance s’écrit sous la forme : base^exposant. Elle représente une multiplication répétée de la base par elle-même.

Règles essentielles

• base^m × base^n = base^(m+n)
• base^m ÷ base^n = base^(m−n) (si la base n’est pas 0)
• (base^m)^n = base^(m×n)
• (a×b)^n = a^n × b^n
• (a/b)^n = a^n / b^n (si b ≠ 0)

Puissances de 10 et écriture scientifique

• 10^n décale la virgule vers la droite (n places).
• 10^(−n) décale la virgule vers la gauche (n places). Écriture scientifique : nombre = a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.

Puissances négatives

• base^(−n) = 1 / base^n (si base ≠ 0)

Pièges fréquents

• Confondre (a+b)^2 avec a^2 + b^2 (ce n’est pas la même chose).
• Oublier les parenthèses quand la base est négative.

Checklist

• Ai-je appliqué la bonne règle (produit, quotient, puissance d’une puissance) ?
• Ai-je gardé les parenthèses nécessaires ?
• Ai-je vérifié l’ordre de grandeur ?

Racine carrée

Définition

La racine carrée de x (notée √x) est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne x.

• √x n’existe (en nombres réels) que si x ≥ 0.
• √x est toujours ≥ 0.

Nombres carrés à connaître

Certaines racines donnent un entier : ce sont les racines de nombres carrés parfaits. Les reconnaître aide à calculer vite.

Règles utiles

• √(a×b) = √a × √b (si a≥0 et b≥0)
• √(a/b) = √a / √b (si a≥0, b>0) Ces règles servent à simplifier quand on peut décomposer un nombre en produit.

Approximations

Quand √x n’est pas un entier, on peut l’approximer :

• en encadrant entre deux carrés parfaits,
• puis en utilisant la calculatrice si c’est autorisé/pertinent.

Pièges fréquents

• Penser que √(a+b) = √a + √b (faux).
• Oublier que √x désigne la racine positive.

Checklist

• Mon x est-il bien ≥ 0 ?
• Est-ce un carré parfait (ou décomposable) ?
• Ai-je gardé le résultat sous une forme cohérente (exacte vs approchée) ?

Calcul mental et estimation

Objectif

Aller plus vite et surtout éviter les erreurs grâce à des vérifications rapides. L’estimation te permet de repérer un résultat impossible.

Outils de calcul mental

• Propriétés : commutativité, associativité, distributivité.
• Regrouper les termes pour simplifier.
• Transformer une expression pour la rendre plus simple (sans changer la valeur).

Estimation / ordre de grandeur

• Arrondir intelligemment pour obtenir un résultat approximatif.
• Comparer ensuite avec le résultat exact pour vérifier la cohérence.
• Utiliser des bornes : « ça doit être entre … et … ».

Stratégie en contrôle

1. Avant de calculer : prévoir si le résultat doit être plutôt grand/petit, positif/négatif.
2. Après calcul : vérifier l’ordre de grandeur.
3. Si ça ne colle pas : chercher l’erreur (souvent signe, priorité, unité).

Pièges fréquents

• Arrondir trop tôt dans une chaîne de calcul et perdre en précision.
• Confondre estimation et résultat final (on doit savoir lequel on donne).

Checklist

• Ai-je une estimation rapide ?
• Le signe et l’ordre de grandeur sont-ils plausibles ?

Divisibilité et nombres premiers

Divisibilité : définition

Un entier A est divisible par un entier B si A ÷ B donne un entier (sans reste). La divisibilité sert à :

• simplifier des fractions,
• factoriser,
• trouver PGCD/PPCM.

Critères de divisibilité (à connaître)

• Par 2 : dernier chiffre pair.
• Par 5 : dernier chiffre 0 ou 5.
• Par 10 : dernier chiffre 0.
• Par 3 : somme des chiffres multiple de 3.
• Par 9 : somme des chiffres multiple de 9.
• Par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
• Par 8 : les trois derniers chiffres forment un multiple de 8.

Nombres premiers

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Ils servent à la décomposition en facteurs premiers.

Décomposition en facteurs premiers

Écrire un nombre comme produit de nombres premiers. Utilités :

• simplifier une fraction,
• calculer PGCD/PPCM,
• comparer des produits/quotients.

Pièges fréquents

• Oublier que 1 n’est pas premier.
• Utiliser un critère à l’envers sans vérifier.

Checklist

• Ai-je testé les divisibilités simples avant de faire des calculs longs ?
• Ai-je identifié les facteurs premiers utiles ?

PGCD et PPCM

Définitions

• PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers : le plus grand nombre qui divise les deux.
• PPCM (plus petit commun multiple) : le plus petit nombre (non nul) qui est multiple des deux.

À quoi ça sert ?

• PGCD : simplifier une fraction, résoudre des problèmes de partage.
• PPCM : trouver un dénominateur commun, synchroniser des périodes.

Méthodes pour trouver le PGCD

• Décomposition en facteurs premiers (puis prendre les facteurs communs avec les plus petits exposants).
• Algorithme d’Euclide (idée : utiliser les restes successifs jusqu’à obtenir 0).

Méthodes pour trouver le PPCM

• Décomposition en facteurs premiers (prendre tous les facteurs nécessaires avec les plus grands exposants).
• Relation utile : PGCD × PPCM = produit des deux nombres (dans beaucoup de cas pratiques).

Pièges fréquents

• Confondre PGCD et PPCM.
• Oublier de vérifier la cohérence (PGCD ≤ nombres ; PPCM ≥ nombres).

Checklist

• Mon résultat respecte-t-il les inégalités (PGCD plus petit, PPCM plus grand) ?
• Ai-je choisi la méthode la plus simple selon les nombres ?

Reconnaître une situation proportionnelle

Définition pratique

C’est proportionnel si, pour toutes les valeurs, le quotient (valeur 2 ÷ valeur 1) reste le même.

Tests fiables

• Tableau : si on peut passer d’une ligne à l’autre toujours avec la même multiplication/division.
• Graphique : si les points sont alignés sur une droite et que cette droite passe par (0;0).
• Calcul : comparer des rapports (sans arrondis trompeurs).

Indices utiles (sans être des preuves)

• Mêmes unités à chaque ligne/colonne.
• Une grandeur « dépend » directement de l’autre.

Pièges fréquents

• Confondre proportionnalité et simple « croissance ».
• Se fier à deux valeurs seulement (il faut que ce soit vrai partout).

Checklist

• Le rapport est-il constant ?
• La droite passe-t-elle par l’origine (si graphique) ?

Coefficient de proportionnalité

Définition

C’est le nombre qui permet de passer d’une grandeur à l’autre par multiplication. Si B = k × A, alors k est le coefficient de proportionnalité.

Comment le trouver

• Choisir une paire de valeurs correspondantes.
• Calculer k = B ÷ A (en respectant l’ordre).
• Vérifier sur une autre paire (pour confirmer que c’est constant).

Comment l’utiliser

• Pour obtenir B : multiplier A par k.
• Pour retrouver A : diviser B par k.

Lien avec les graphiques

Dans une situation proportionnelle, k correspond à la « pente » de la droite (variation de B quand A augmente d’une unité).

Pièges fréquents

• Inverser le quotient (A ÷ B au lieu de B ÷ A).
• Oublier les unités (k peut porter une signification d’unité).

Checklist

• Mon k est-il cohérent (positif, ordre de grandeur) ?
• La vérification sur une autre valeur fonctionne-t-elle ?

Tableaux et graphiques (proportionnalité et lecture)

Tableau : savoir s’en servir

• Identifier les deux grandeurs et leurs unités.
• Vérifier si c’est proportionnel (même coefficient).
• Compléter un tableau avec une méthode claire : coefficient, passage à l’unité, produit en croix.

Graphique : lire correctement

1. Lire les axes : quelle grandeur sur chaque axe ? quelles unités ?
2. Lire l’échelle : combien vaut une graduation ?
3. Placer/repérer un point : abscisse (x) puis ordonnée (y).
4. Interpréter : tendance, alignement, passage par l’origine.

Compétences attendues

• Extraire une information exacte.
• Estimer une valeur entre deux graduations (si demandé).
• Relier tableau et graphique (même relation).

Pièges fréquents

• Lire une valeur sans vérifier l’échelle.
• Confondre axe horizontal et vertical.
• Oublier les unités dans la réponse.

Checklist

• Ai-je écrit les unités ?
• Ai-je lu l’échelle avant de lire la valeur ?

Pourcentages, évolutions, taux

Pourcentage : définition

Un pourcentage est une fraction de 100. Dire p% revient à dire « p sur 100 ».

Calculs essentiels (sans se tromper)

• Calculer une part : part = p/100 × total
• Retrouver un pourcentage : p = (part ÷ total) × 100
• Retrouver le total : total = part ÷ (p/100)

Évolutions (augmentation / diminution)

On raisonne avec un coefficient multiplicateur :

• augmentation de p% → multiplier par (1 + p/100)
• diminution de p% → multiplier par (1 − p/100)

Évolutions successives

Deux évolutions ne s’additionnent pas : on multiplie les coefficients. Cela explique pourquoi un « +p% puis −p% » ne ramène pas forcément au départ.

Taux d’évolution

taux = (valeur finale − valeur initiale) ÷ valeur initiale Puis on convertit en %.

Pièges fréquents

• Confondre « points de pourcentage » et « pourcentage ».
• Appliquer le taux sur la mauvaise base (total vs valeur initiale).

Checklist

• Quelle est la base (le “100%”) ?
• Est-ce une augmentation ou une diminution ?
• Ai-je utilisé le bon coefficient multiplicateur ?

Échelles et vitesses (conversions)

Échelles (plans, cartes)

Une échelle relie une distance sur le document à une distance réelle.

• Échelle de type 1:n : 1 unité sur le plan correspond à n unités en réalité.
• Toujours convertir dans la même unité avant de calculer.

Méthode pour les problèmes d’échelle

1. Identifier l’échelle et les unités utilisées.
2. Convertir toutes les distances dans une unité commune.
3. Multiplier/diviser selon que l’on va du plan vers la réalité ou l’inverse.
4. Conclure avec l’unité correcte.

Vitesses

Formule : vitesse = distance ÷ temps Formules associées :

• distance = vitesse × temps
• temps = distance ÷ vitesse

Conversions d’unités (indispensable)

• Longueurs : mm, cm, m, km
• Durées : s, min, h
• Vitesse : souvent km/h ↔ m/s (attention aux facteurs)

Pièges fréquents

• Oublier de convertir avant de calculer.
• Mélanger minutes et heures.
• Donner un résultat sans unité.

Checklist

• Toutes mes valeurs sont-elles dans les mêmes unités ?
• Ai-je choisi la bonne formule (v=d/t, d=v×t, t=d/v) ?

Expressions : traduire et réduire

Traduire (passer du texte aux maths)

• Identifier ce qu’on cherche : choisir une lettre pour l’inconnue.
• Repérer les mots-clés :
  • somme, différence, produit, quotient
  • double, moitié, triple…
  • « de plus », « de moins », « fois », « divisé par »
• Écrire l’expression avec des parenthèses si nécessaire.

Réduire (simplifier sans changer)

Réduire = regrouper les termes semblables :

• mêmes lettres avec le même exposant (ex : en x, en x², etc.)
• gérer les signes (additionner des termes négatifs, soustraire des termes)

Règles de base

• Un coefficient devant une lettre signifie multiplication.
• On ne peut additionner que des termes « de même nature ».
• Les parenthèses précédées d’un « − » changent les signes à l’intérieur.

Pièges fréquents

• Mélanger x et x².
• Oublier qu’un « − » devant une parenthèse se distribue.

Checklist

• Ai-je défini clairement la variable ?
• Ai-je regroupé seulement les termes semblables ?
• Ai-je contrôlé les signes ?

Développer

Définition

Développer, c’est transformer une expression pour enlever les parenthèses en utilisant la distributivité.

Distributivité (règle centrale)

• a(b + c) = ab + ac
• a(b − c) = ab − ac
  Si un signe « − » est devant la parenthèse, il faut être très vigilant.

Méthode fiable

1. Repérer le facteur qui multiplie la parenthèse.
2. Multiplier ce facteur par chaque terme dans la parenthèse.
3. Réduire si possible (regrouper les termes).
4. Vérifier les signes et les coefficients.

Pourquoi développer ?

• Pour simplifier un calcul,
• Pour résoudre des équations,
• Pour comparer des expressions.

Pièges fréquents

• Oublier un terme dans la parenthèse.
• Se tromper de signe quand la parenthèse est précédée d’un « − ».

Checklist

• Ai-je distribué sur tous les termes ?
• Ai-je bien géré les signes ?
• Ai-je réduit à la fin ?

Factoriser

Définition

Factoriser, c’est l’inverse de développer : on transforme une somme (ou différence) en produit en mettant un facteur commun en évidence.

Pourquoi factoriser ?

• Simplifier une expression,
• Résoudre certaines équations plus facilement,
• Mettre en évidence une structure utile (notamment avec les identités remarquables).

Méthode (facteur commun)

1. Chercher un facteur commun aux termes (nombre, lettre, ou partie d’expression).
2. Écrire ce facteur en dehors des parenthèses.
3. Mettre ce qui reste dans la parenthèse.
4. Vérifier en redéveloppant mentalement.

Méthode (regroupement)

• Regrouper des termes pour faire apparaître un facteur commun.
• Factoriser par étapes.

Pièges fréquents

• Se tromper sur ce qui reste dans la parenthèse.
• Oublier un signe.

Checklist

• Le facteur commun est-il bien commun à tous les termes ?
• Si je redéveloppe, est-ce que je retombe sur l’expression de départ ?

Identités remarquables

Pourquoi c’est important ?

Elles permettent de développer ou factoriser très vite certaines expressions fréquentes, avec une méthode sûre.

Les trois identités à connaître

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Comment les utiliser

Pour développer

1. Reconnaître la forme (carré d’une somme, carré d’une différence, produit conjugué).
2. Appliquer la formule.
3. Réduire si nécessaire.

Pour factoriser

1. Repérer une expression qui ressemble à l’un des résultats (a² ± 2ab + b² ou a² − b²).
2. Identifier a et b.
3. Réécrire sous la forme factorisée.

Pièges fréquents

• Oublier le terme 2ab.
• Confondre a² − b² avec (a − b)² (ce n’est pas pareil).

Checklist

• Ai-je bien identifié a et b ?
• Ai-je placé correctement le signe du terme 2ab ?

Équations

Définition

Une équation est une égalité avec une inconnue (souvent une lettre) : on cherche la valeur qui rend l’égalité vraie.

Règle d’or

On a le droit de faire la même opération des deux côtés de l’égalité. C’est ce qui conserve l’égalité.

Méthode standard (équation du 1er degré)

1. Simplifier chaque côté (réduire, développer si besoin).
2. Regrouper les termes avec l’inconnue d’un côté, les nombres de l’autre.
3. Isoler l’inconnue (diviser par son coefficient).
4. Vérifier en remplaçant dans l’équation initiale (contrôle).

Cas particuliers à connaître

• Si l’inconnue disparaît : soit aucune solution, soit une infinité (selon ce qui reste).
• Si on divise : attention à ne jamais diviser par 0.

Pièges fréquents

• Changer un signe lors d’un passage « de l’autre côté » (mieux vaut ajouter/soustraire proprement).
• Oublier de simplifier avant de résoudre.

Checklist

• Ai-je justifié les transformations (même opération des deux côtés) ?
• Ai-je vérifié la solution ?

Inéquations

Définition

Une inéquation ressemble à une équation, mais avec un signe d’ordre : <, >, ≤, ≥. On cherche toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.

Méthode (comme une équation… avec une règle en plus)

1. Simplifier (développer/réduire).
2. Regrouper les termes avec l’inconnue d’un côté.
3. Isoler l’inconnue.

Règle très importante

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l’inégalité.

Écrire la solution

• Donner un ensemble de solutions (en phrase, en intervalle, ou sur une droite graduée selon la consigne).
• Respecter l’ordre et les signes ≤/≥.

Pièges fréquents

• Oublier d’inverser le signe en divisant par un négatif.
• Confondre solution unique (équation) et ensemble de solutions (inéquation).

Checklist

• Ai-je inversé le sens si j’ai multiplié/divisé par un négatif ?
• Ai-je écrit clairement l’ensemble solution ?

Modéliser un problème (mise en équation)

Objectif

Transformer une situation décrite en mots en un modèle mathématique (expression, équation, tableau, fonction) pour pouvoir calculer.

Étapes indispensables

1. Comprendre : repérer ce qu’on cherche et ce qu’on connaît.
2. Choisir une inconnue : définir une lettre et préciser ce qu’elle représente.
3. Traduire : écrire les relations avec des opérations (attention aux mots-clés).
4. Construire : poser l’équation (ou l’expression) qui traduit la situation.
5. Résoudre : appliquer la méthode d’équation/inéquation.
6. Interpréter : la valeur trouvée correspond-elle au problème (unité, sens, contraintes) ?
7. Vérifier : cohérence et contrôle rapide.

Compétences évaluées

• Choisir la bonne représentation (équation, proportionnalité, fonction).
• Justifier les étapes.
• Conclure avec une phrase et une unité.

Pièges fréquents

• Définir une lettre sans dire ce qu’elle représente.
• Oublier une contrainte (valeurs possibles, unités, sens concret).
• Donner une valeur sans interprétation finale.

Checklist

• Ma variable est-elle bien définie ?
• Mon équation correspond-elle vraiment aux phrases du problème ?
• Ma réponse finale a-t-elle une unité et un sens ?

Notion de fonction : images et antécédents

Vocabulaire

• x : nombre d’entrée (abscisse sur un graphique).
• f(x) : image de x par la fonction (ordonnée sur un graphique).
• Antécédent de y : valeur(s) de x qui donnent f(x)=y.

Comprendre la notation

• f(x) ne signifie pas « f multiplié par x » : c’est un nom pour la sortie.
• Une même image peut avoir plusieurs antécédents (selon la courbe).

Représentations

• Formule : f(x) = …
• Tableau de valeurs : couples (x ; f(x))
• Graphique : points et courbe

Méthodes

Trouver une image

• Remplacer x par la valeur donnée dans la formule (ou lire l’ordonnée sur le graphique).

Trouver un antécédent

• Résoudre f(x)=y (si formule),
• ou lire sur le graphique : tracer mentalement une horizontale à y puis lire les abscisses des points d’intersection.

Pièges fréquents

• Inverser image et antécédent.
• Oublier qu’il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Checklist

• Ai-je identifié ce qui est donné (x ou y) ?
• Suis-je passé par la bonne lecture (verticale pour image, horizontale pour antécédent) ?

Lecture et interprétation de graphiques

Lire une valeur (méthode)

1. Identifier les axes (x horizontal, y vertical).
2. Vérifier l’échelle (valeur d’une graduation).
3. Pour une image f(x) :

• partir de x sur l’axe horizontal,
• monter jusqu’à la courbe,
• lire y sur l’axe vertical.

1. Pour un antécédent :

• partir de y sur l’axe vertical,
• aller horizontalement jusqu’à la courbe,
• lire x sur l’axe horizontal.

Interpréter

• Variation : la courbe monte (f augmente) ou descend (f diminue).
• Intersections : valeurs communes, solutions d’une égalité.
• Sens : ce que représentent x et y (contexte, unités).

Compétences attendues

• Lire une valeur exacte (quand possible) ou une estimation.
• Décrire une évolution avec du vocabulaire précis.
• Faire le lien avec un tableau ou une formule.

Pièges fréquents

• Lire une valeur sans regarder l’échelle.
• Confondre point sur la courbe et simple repère graphique.

Checklist

• Ai-je noté les unités ?
• Ai-je justifié une estimation si nécessaire ?

Fonctions affines (et linéaires)

Définition

Une fonction affine s’écrit : f(x) = ax + b

• a : coefficient directeur (pente)
• b : ordonnée à l’origine (valeur quand x=0)

Fonction linéaire (cas particulier) : f(x) = ax (donc b=0). Elle correspond à une situation de proportionnalité.

Lecture sur un graphique

• b se lit au point où la droite coupe l’axe vertical.
• a indique « comment y change quand x augmente » :
  • a>0 : droite montante
  • a<0 : droite descendante
  • plus |a| est grand, plus la droite est “raide”.

Utilisation

• Calculer une image : remplacer x.
• Trouver un antécédent : résoudre ax+b=y.

Pièges fréquents

• Confondre a et b.
• Dire proportionnalité alors que b ≠ 0 (la droite ne passe pas par l’origine).

Checklist

• La droite passe-t-elle par l’origine (b=0) ?
• Ai-je identifié a (pente) et b (départ) ?

Taux de variation (lecture)

Idée

Le taux de variation mesure la « pente » entre deux points : combien y change quand x change.

Calcul (principe)

taux = (variation de y) ÷ (variation de x) Autrement dit : (y2 − y1) / (x2 − x1), en gardant le bon ordre.

Interprétation

• Taux positif : y augmente quand x augmente.
• Taux négatif : y diminue quand x augmente.
• Taux nul : y reste constant.

Où on l’utilise

• Pour relier une droite à son coefficient directeur (pour une fonction affine).
• Pour comparer des évolutions.

Pièges fréquents

• Inverser le sens des différences (il faut être cohérent sur les deux).
• Oublier les unités (c’est « unité de y par unité de x »).

Checklist

• Ai-je choisi deux points bien identifiés ?
• Ai-je gardé le même ordre dans les différences ?
• Ai-je interprété le signe et l’unité ?

Figures et propriétés (géométrie plane)

Objectif

Savoir reconnaître les figures et utiliser leurs propriétés pour déduire des informations : parallélisme, perpendicularité, égalités de longueurs, égalités d’angles.

Triangles

• Types : quelconque, rectangle, isocèle, équilatéral.
• Propriétés liées : angles, côtés, symétries.

Quadrilatères

• Parallélogramme et cas particuliers (rectangle, losange, carré).
• Propriétés des côtés et des diagonales.

Cercle

• Rayon, diamètre, corde, arc.
• Angles au centre, angles inscrits, tangente.

Compétence clé

« Identifier → citer la propriété → l’utiliser → conclure. »

Pièges fréquents

• Confondre propriété directe et réciproque.
• Mélanger conditions d’un rectangle et d’un losange.

Checklist

• Ai-je nommé la figure correctement ?
• Ai-je écrit les propriétés exactes (pas “à peu près”) ?

Transformations

Idée centrale

Une transformation déplace une figure tout en conservant certaines propriétés. Elle sert à :

• prouver des égalités de longueurs/angles,
• construire des figures,
• reconnaître des symétries.

Transformations au collège

• Symétrie axiale
• Symétrie centrale
• Translation
• Rotation
• Homothétie

Invariants importants (ce qui est conservé)

Souvent conservés : alignement, parallélisme, angles, longueurs (sauf homothétie), formes. La transformation peut changer la position, mais pas la “structure” de la figure.

Méthode

1. Identifier la transformation demandée.
2. Repérer ses éléments (axe, centre, vecteur, angle, rapport).
3. Construire l’image point par point, puis relier.

Pièges fréquents

• Confondre symétrie axiale et centrale.
• Inverser le sens d’une translation/rotation.

Thalès

À quoi sert le théorème de Thalès ?

Il permet de calculer des longueurs dans des triangles quand on a des droites parallèles. C’est un outil de rapports (proportions).

Conditions indispensables

On travaille dans une configuration où :

• deux droites sont sécantes (elles se coupent),
• et on a une (ou plusieurs) droite(s) parallèle(s) qui coupe(nt) ces sécantes. Sans parallélisme, Thalès ne s’applique pas.

Énoncé (idée)

Dans une telle configuration, les segments correspondants sont proportionnels : on peut écrire une égalité de rapports.

Méthode (très fiable)

1. Faire un schéma clair et nommer les points.
2. Écrire la phrase : « Les droites … sont parallèles, donc d’après Thalès… »
3. Écrire les rapports dans le bon ordre (segments correspondants).
4. Résoudre l’égalité (produit en croix) proprement.
5. Conclure avec une phrase et une unité si nécessaire.

Réciproque (à connaître)

Si on montre que des rapports de longueurs sont égaux dans la bonne configuration, on peut conclure au parallélisme.

Pièges fréquents

• Écrire des rapports dans un ordre incohérent.
• Utiliser Thalès sans justifier le parallélisme.
• Mélanger Thalès et Pythagore (objectifs différents).

Checklist

• Ai-je prouvé/indiqué les parallèles ?
• Mes rapports sont-ils “alignés” (mêmes positions) ?
• Ai-je conclu clairement ?

Pythagore (et réciproque)

Théorème de Pythagore (quand l’utiliser ?)

Dans un triangle rectangle, il relie les longueurs des côtés :

• L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (le plus long).
• Somme des carrés des deux autres côtés = carré de l’hypoténuse.

Méthode pour calculer une longueur

1. Vérifier/justifier que le triangle est rectangle.
2. Identifier l’hypoténuse.
3. Écrire la relation de Pythagore avec les bonnes lettres.
4. Remplacer par les valeurs connues.
5. Calculer et (si nécessaire) prendre la racine carrée.
6. Conclure avec unité.

Réciproque de Pythagore (pour prouver un angle droit)

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle (angle droit en face du plus grand côté).

Pièges fréquents

• Se tromper d’hypoténuse.
• Oublier que Pythagore ne marche que dans un triangle rectangle.
• Oublier la conclusion « donc le triangle est rectangle en … » (pour la réciproque).

Checklist

• Ai-je identifié l’angle droit et l’hypoténuse ?
• Ai-je écrit la relation avec les bons côtés ?
• Ai-je vérifié la cohérence du résultat ?

Géométrie dans l’espace

Objectif

Savoir décrire et manipuler des solides : reconnaître leurs éléments, comprendre leurs représentations, et relier l’espace aux mesures (aires/volumes).

Vocabulaire

• Face, arête, sommet
• Base, hauteur
• Section : “tranche” obtenue par un plan
• Patron : dépliage d’un solide sur une feuille

Compétences attendues

• Reconnaître prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère.
• Lire une représentation (perspective) sans confondre les arêtes visibles/cachées.
• Passer d’un solide à son patron (et inversement).
• Identifier une section simple (selon la coupe).

Méthode

1. Nommer les éléments (faces, arêtes, sommets).
2. Identifier les bases et la hauteur quand c’est nécessaire.
3. Pour un patron : vérifier que les faces “se ferment” correctement autour des arêtes.

Pièges fréquents

• Confondre hauteur et arête oblique.
• Mélanger aire totale et volume.
• Oublier des faces dans un patron.

Checklist

• Ai-je repéré les bases et la hauteur ?
• Mon patron correspond-il bien au solide (mêmes faces, mêmes arêtes) ?

Trigonométrie (triangle rectangle)

À quoi ça sert ?

Relier un angle et des longueurs dans un triangle rectangle, pour calculer une longueur ou un angle quand Pythagore ne suffit pas.

Conditions

• On travaille dans un triangle rectangle.
• On choisit un angle aigu (ni 0° ni 90°).

Vocabulaire

Par rapport à l’angle choisi :

• hypotenuse : côté opposé à l’angle droit (toujours le plus long)
• côté opposé : en face de l’angle
• côté adjacent : à côté de l’angle (mais pas l’hypoténuse)

Définitions

• sin(angle) = opposé / hypoténuse
• cos(angle) = adjacent / hypoténuse
• tan(angle) = opposé / adjacent

Méthode

1. Identifier l’angle et nommer opposé/adjacent/hypoténuse.
2. Choisir la bonne formule selon les côtés connus et cherchés.
3. Écrire l’égalité, puis isoler la grandeur cherchée.
4. Utiliser la calculatrice pour sin/cos/tan si nécessaire.
5. Conclure avec unité et arrondi demandé.

Pièges fréquents

• Confondre adjacent et opposé.
• Utiliser tan alors qu’un côté est l’hypoténuse.
• Arrondir sans respecter la consigne.

Checklist

• Triangle rectangle ? angle choisi correct ?
• Ai-je bien nommé les côtés ?
• Arrondi et unité respectés ?

Périmètres

Définition

Le périmètre est la longueur du contour d’une figure plane (unité de longueur : mm, cm, m, km…).

Formules usuelles

• Polygone : somme des longueurs des côtés.
• Rectangle : 2 × (longueur + largeur)
• Carré : 4 × côté
• Cercle (circonférence) : 2πr ou πd (r = rayon, d = diamètre)

Méthode

1. Repérer exactement le contour (ce qui est “sur le bord”).
2. Écrire l’expression du périmètre (somme ou formule).
3. Si des longueurs manquent, les trouver avec des propriétés (symétrie, parallélogramme, triangle…).
4. Convertir si nécessaire puis calculer.
5. Conclure avec l’unité.

Pièges fréquents

• Ajouter une longueur intérieure qui ne fait pas partie du contour.
• Mélanger des unités (cm et m) dans la même somme.
• Oublier que d = 2r pour le cercle.

Checklist

• Ai-je suivi uniquement le bord ?
• Toutes les longueurs sont-elles dans la même unité ?
• Mon résultat est-il cohérent (ordre de grandeur) ?

Aires (figures usuelles)

Définition

L’aire mesure la surface d’une figure plane (unité au carré : cm², m²…).

Formules essentielles

• Rectangle : longueur × largeur
• Carré : côté²
• Triangle : (base × hauteur) / 2
• Parallélogramme : base × hauteur
• Trapèze (si vu) : ((grande base + petite base) × hauteur) / 2
• Disque : πr² (r = rayon)

Méthode

1. Identifier la figure (ou découper en figures connues).
2. Repérer base et hauteur quand nécessaire (hauteur = perpendiculaire à la base).
3. Mettre toutes les mesures dans la même unité.
4. Calculer puis écrire l’unité².

Pièges fréquents

• Prendre une “hauteur” oblique (pas perpendiculaire).
• Oublier le /2 pour le triangle (et le trapèze si utilisé).
• Confondre rayon et diamètre pour le disque.

Checklist

• Base/hauteur correctement identifiées ?
• Unités cohérentes ?
• Résultat en unité² ?

Volumes (solides usuels)

Définition

Le volume mesure l’espace occupé par un solide (unité au cube : cm³, m³…).
Lien utile : 1 L = 1 dm³ (selon le cours, conversions possibles).

Formules essentielles

• Prisme droit : V = aire de base × hauteur
• Cylindre : V = πr² × h
• Pyramide : V = (aire de base × hauteur) / 3
• Cône : V = (πr² × h) / 3
• Boule : V = (4/3)πr³

Méthode

1. Reconnaître le solide.
2. Identifier la base et la hauteur (hauteur = distance perpendiculaire à la base).
3. Calculer l’aire de la base (avec la bonne formule).
4. Appliquer la formule de volume (×h, puis /3 si pyramide/cône).
5. Conclure avec unité³.

Pièges fréquents

• Confondre hauteur et arête oblique.
• Prendre le diamètre au lieu du rayon.
• Oublier les conversions (cm³ ↔ m³, ou cm ↔ m avant de cuber).

Checklist

• Bonne formule pour le bon solide ?
• Base/hauteur/rayon bien identifiés ?
• Unité³ correcte et conversions faites avant le calcul ?

Angles et conversions

Angles : repères

• Mesure en degrés (°) au collège.
• Angle droit = 90°, plat = 180°, tour = 360°.
• Dans un triangle : somme des angles = 180°.
• Dans un quadrilatère : somme des angles = 360°.

Angles et parallèles

Avec des droites parallèles coupées par une sécante :

• angles alternes-internes égaux
• angles correspondants égaux
• angles adjacents supplémentaires (somme 180°) Ces relations servent à calculer des angles et à prouver un parallélisme.

Conversions (rappel)

• Longueurs : mm ↔ cm ↔ m ↔ km
• Aires : attention, on “met au carré” le facteur de conversion.
• Volumes : attention, on “met au cube” le facteur de conversion.
• Durées : s ↔ min ↔ h

Pièges fréquents

• Convertir une aire comme une longueur (erreur de puissance).
• Oublier les propriétés d’angles avec des parallèles.

Checklist

• Ai-je la bonne somme d’angles selon la figure ?
• Conversion cohérente avec longueur/aire/volume ?

Précision : arrondis et encadrements

Pourquoi c’est important ?

Au brevet, on te demande souvent un résultat :

• arrondi à une unité donnée,
• au dixième/centième,
• ou encadré entre deux valeurs.

Arrondir (règle)

• Regarder le chiffre suivant celui du rang demandé.
• Si ce chiffre est 0 à 4 : on garde.
• Si 5 à 9 : on augmente d’une unité au rang demandé. Toujours réécrire clairement le résultat arrondi.

Encadrer

Encadrer = trouver deux nombres :

• un plus petit,
• un plus grand, entre lesquels se trouve le nombre. L’encadrement dépend du pas (à l’unité, au dixième, etc.).

Erreurs fréquentes

• Arrondir au mauvais rang.
• Confondre troncature (couper) et arrondi.
• Donner trop de chiffres alors que l’énoncé impose une précision.

Checklist

• Quel rang est demandé (unité, dixième, centième) ?
• Ai-je indiqué clairement l’arrondi/encadrement ?
• Le résultat reste-t-il cohérent (ordre de grandeur) ?

Effectifs, fréquences, pourcentages (statistiques)

Vocabulaire

• Effectif : nombre d’éléments dans une catégorie.
• Effectif total : somme de tous les effectifs.
• Fréquence : part d’une catégorie dans le total (nombre entre 0 et 1).
• Pourcentage : fréquence exprimée sur 100.

Formules

• fréquence = effectif / effectif total
• pourcentage = fréquence × 100
• effectif = fréquence × effectif total (ou pourcentage/100 × total)

Méthode pas à pas

1. Trouver l’effectif total.
2. Choisir ce qu’on calcule (fréquence, %, ou effectif).
3. Appliquer la formule.
4. Arrondir si demandé (et indiquer l’arrondi).
5. Contrôler la cohérence :
   • somme des fréquences = 1
   • somme des pourcentages = 100%

Représentations et lecture

• Dans un diagramme, la valeur lue correspond à un effectif ou une fréquence : toujours regarder la légende/axe.
• On doit pouvoir passer d’un graphique à un tableau (et inversement).

Pièges fréquents

• Diviser par autre chose que le total.
• Confondre 0,25 et 25% (même information, pas la même écriture).
• Oublier de préciser l’unité (% ou fréquence).

Checklist

• Total correct ?
• Résultat sous la bonne forme (décimal ou %) ?
• Sommes (1 ou 100%) cohérentes ?

Moyenne, médiane, étendue

Moyenne (valeur “centre”)

Idée : partager équitablement. Méthode :

• Additionner toutes les valeurs (en tenant compte des effectifs).
• Diviser par le nombre total de données.

⚠️ Si les valeurs sont regroupées avec des effectifs, il faut faire une somme “valeur × effectif”.

Médiane (valeur “du milieu”)

• Ordonner les données.
• La médiane coupe la série en deux parties de même taille. Selon si l’effectif total est pair ou impair, la définition précise change, mais l’idée reste : “milieu de la liste”.

Étendue (dispersion simple)

étendue = valeur max − valeur min Elle indique l’écart entre les extrêmes.

Pièges fréquents

• Oublier de trier pour la médiane.
• Calculer une moyenne sans pondération (effectifs).
• Confondre étendue et moyenne.

Checklist

• Données triées (pour médiane) ?
• Effectifs pris en compte (pour moyenne) ?
• Max/min corrects (pour étendue) ?

Représentations : diagrammes, histogrammes

Objectif

Lire une représentation et la traduire en informations chiffrées (et parfois construire le graphique).

Diagramme en barres

• Utile pour des catégories.
• La hauteur (ou longueur) est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence.

Histogramme

• Utile quand les données sont regroupées par intervalles.
• L’aire des rectangles représente l’effectif (selon l’échelle). Il faut donc être très attentif à la largeur des classes.

Méthode de lecture

1. Lire les axes et l’échelle.
2. Identifier la catégorie/classe.
3. Lire l’effectif ou la fréquence.
4. Vérifier la cohérence (total).

Pièges fréquents

• Confondre histogramme et diagramme en barres.
• Oublier de lire l’échelle avant de conclure.

Checklist

• Axes et unités identifiés ?
• Valeur lue avec la bonne échelle ?
• Total cohérent ?

Probabilités : issues et événements

Vocabulaire

• Expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance.
• Univers : ensemble de toutes les issues possibles.
• Issue : un résultat possible.
• Événement : un ensemble d’issues (ce qui “nous intéresse”).

Probabilité dans les cas simples (équiprobables)

Si toutes les issues ont la même chance : probabilité = (nombre d’issues favorables) ÷ (nombre d’issues possibles)

Méthode

1. Définir l’univers clairement.
2. Définir l’événement (ce qu’on veut obtenir).
3. Compter issues favorables et possibles.
4. Calculer la fraction, simplifier si possible, convertir en décimal ou % si demandé.
5. Vérifier : la probabilité est entre 0 et 1.

Pièges fréquents

• Oublier des issues dans l’univers.
• Confondre “événement” et “issue”.
• Donner une probabilité >1 (impossible) ou négative.

Checklist

• Univers complet ?
• Événement bien défini ?
• Résultat entre 0 et 1 ?

Variables et affectations

Variable : définition

Une variable est une “boîte” qui stocke une valeur (nombre, texte…). Elle peut changer au cours de l’algorithme.

Affectation

Affecter, c’est donner une valeur à une variable. Important : en algorithmique, une instruction d’affectation signifie « la variable prend la valeur… ».

Bonnes pratiques

• Choisir des noms clairs (quand on peut).
• Initialiser les variables avant de les utiliser.
• Suivre l’évolution des variables étape par étape (tableau de traces).

Méthode pour exécuter un algorithme

1. Lister les variables.
2. Écrire leur valeur au départ.
3. À chaque instruction, mettre à jour la valeur concernée.
4. Lire ce qui est affiché à la fin.

Pièges fréquents

• Utiliser une variable non initialisée.
• Oublier une mise à jour.

Checklist

• Toutes les variables ont-elles une valeur avant usage ?
• Ai-je suivi l’ordre exact des instructions ?

Conditions (si… alors… sinon…)

Idée

Une condition permet à l’algorithme de choisir une branche selon qu’un test est vrai ou faux.

Tests courants

• Comparaisons : <, >, ≤, ≥
• Égalité / différence : =, ≠ (selon la notation utilisée)
• Combinaisons : ET, OU (selon le niveau demandé)

Méthode pour comprendre

1. Identifier le test.
2. Évaluer si le test est vrai ou faux avec les valeurs actuelles.
3. Exécuter uniquement les instructions de la branche correspondante.

Attention

• Une condition ne “calcule” pas, elle décide.
• Les variables peuvent avoir changé juste avant : toujours utiliser la valeur la plus récente.

Pièges fréquents

• Lire le test avec l’ancienne valeur d’une variable.
• Oublier le cas “sinon” (quand il existe).

Checklist

• Quel est le test exactement ?
• Quelle branche est exécutée ?
• Quelles variables sont modifiées dans cette branche ?

Boucles (répéter)

Idée

Une boucle sert à répéter des instructions plusieurs fois, sans les réécrire.

Deux familles courantes

• Répéter un nombre de fois (boucle “pour” / compteur).
• Répéter tant qu’une condition est vraie (boucle “tant que”).

Méthode pour suivre une boucle

1. Repérer la variable de boucle (compteur ou condition).
2. Écrire l’état avant la boucle.
3. Faire passer les tours un par un :
   • exécuter le corps,
   • mettre à jour le compteur,
   • re-tester la condition.
4. S’arrêter quand la condition d’arrêt est atteinte.

Pièges fréquents

• Oublier d’actualiser une variable, donc boucle infinie.
• Se tromper d’ordre (test avant/après selon le type de boucle).
• Confondre nombre de tours et valeur finale.

Checklist

• Qu’est-ce qui fait avancer la boucle ?
• Quand s’arrête-t-elle ?
• Quelle valeur a la variable à la fin ?

Lire / écrire un algorithme

Lire un algorithme (comprendre ce qu’il fait)

• Repérer : entrées, variables, traitement, sorties.
• Suivre l’ordre des instructions.
• Faire une “trace” des variables (tableau) pour ne pas se perdre.
• Vérifier ce qui est affiché (sorties).

Écrire un algorithme (créer une méthode)

1. Définir l’objectif (ce qu’on veut obtenir).
2. Lister les données d’entrée.
3. Choisir les variables nécessaires.
4. Décomposer en étapes simples (calculs, tests, répétitions).
5. Prévoir une sortie (afficher un résultat).
6. Tester mentalement la logique (cohérence).

Qualités attendues

• Clarté : étapes courtes, vocabulaire simple.
• Logique : pas de saut d’étape.
• Robustesse : gérer les cas selon les conditions.

Pièges fréquents

• Mettre une étape “magique” sans expliquer le calcul.
• Oublier l’initialisation d’une variable.

Checklist

• Entrées / traitement / sorties identifiés ?
• Variables initialisées ?
• Ordre des instructions logique ?

Démonstration : enchaînement logique

Qu’est-ce qu’une démonstration ?

C’est une suite d’arguments qui montre qu’une affirmation est vraie, sans “au hasard”. On part de ce qu’on sait (données, propriétés) pour arriver à ce qu’on veut prouver.

Structure simple (très efficace)

1. Données : ce qui est connu.
2. Propriété/Théorème : règle générale qu’on utilise.
3. Application : on l’applique à la situation.
4. Conclusion : on annonce clairement ce qu’on a prouvé.

Conseils de forme

• Écrire des égalités vraies à chaque ligne.
• Nommer les objets (triangle, droites, points) pour que ce soit lisible.
• Utiliser des connecteurs logiques : donc, ainsi, par conséquent.

Pièges fréquents

• Utiliser une propriété sans citer son nom ou ses conditions.
• Confondre “si… alors…” et sa réciproque.

Checklist

• Ai-je dit ce que j’utilise (propriété) ?
• Les conditions sont-elles vérifiées ?
• Ai-je une phrase de conclusion ?

Justifications en géométrie

Pourquoi justifier ?

En géométrie, un calcul seul ne suffit pas : il faut expliquer pourquoi on a le droit d’écrire telle égalité ou d’utiliser tel théorème.

Types de justifications fréquentes

• Propriétés de figures (parallélogramme, rectangle, cercle…)
• Relations d’angles (parallèles, triangle, quadrilatère)
• Théorèmes : Pythagore, Thalès (+ réciproques)
• Transformations (symétries, translations…) qui conservent des grandeurs

Formulations attendues

• « Dans le triangle … rectangle en …, d’après Pythagore… »
• « Les droites … sont parallèles, donc d’après Thalès… »
• « Comme … est la médiatrice de …, alors … »

Pièges fréquents

• Oublier de préciser “rectangle en …” pour Pythagore.
• Citer Thalès sans indiquer le parallélisme.
• Conclure “c’est évident” (ça ne rapporte rien).

Checklist

• Ai-je nommé la figure et les points ?
• Ai-je cité la propriété/théorème avec ses conditions ?
• Ai-je conclu explicitement ?

Contrôle de cohérence

Pourquoi contrôler ?

Parce que beaucoup d’erreurs sont repérables sans refaire tout le calcul. Un bon contrôle te fait gagner des points et du temps.

Vérifications rapides

• Signe : positif/négatif (relatifs, équations, taux…)
• Ordre de grandeur : résultat trop grand/petit ?
• Unités : cm vs m, cm² vs cm, km/h vs m/s
• Domaine de validité : racine carrée (x≥0), division par 0, inéquations (sens), théorèmes (conditions)
• Cohérence géométrique : une longueur ne peut pas être négative, une hypothénuse est le plus grand côté, etc.

Méthode

1. Faire une estimation (quand possible).
2. Comparer avec le résultat.
3. Si incohérent : chercher l’erreur typique (signe, parenthèses, conversion).

Checklist

• Mon résultat est-il possible (valeur, unité, sens) ?
• Ai-je respecté toutes les conditions du chapitre ?

Présentation : clarté et étapes

Pourquoi soigner la présentation ?

Parce que la copie est corrigée par un humain : une démarche lisible donne des points, même si tout n’est pas parfait.

Règles simples

• Écrire une étape par ligne pour les calculs.
• Aligner les égalités (éviter les sauts).
• Encadrer ou souligner le résultat final.
• Mettre les unités partout quand il y en a.
• Écrire une phrase de conclusion : « Donc … ».

En géométrie

• Schéma propre, noms des points, marques (angles droits, parallèles, égalités).
• Justifier avant de calculer.

Pièges fréquents

• Résultat “posé” sans explication.
• Unités absentes.
• Calculs illisibles ou raturés.

Checklist

• Mes étapes sont-elles compréhensibles ?
• Le résultat final est-il identifiable et avec l’unité ?
• Ai-je conclu par une phrase ?